Question

已知双曲线的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线C经过点，又知直线l：y=kx+1与双曲线C相交于A、B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，求实数k值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由抛物线的焦点是，知双曲线的，由此能求出求双曲线C的方程．
（2）联立方程：，当△＞0时，得（且k≠±2），由书达定理：，由此能求出实数k值．
解答：解（1）抛物线的焦点是，
则双曲线的…（1分）
点在双曲线方程…（2分）
解得：…（5分）
（2）联立方程：
当△＞0时，得（且k≠±2）…（7分）（未写△扣1分）
由书达定理：…（8分）
设
即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0代入，
可得：，
检验合格．…（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．