题目内容
已知函数f（x）=x（x-a）2，g（x）=-x2+（a-1）x+a（其中a为常数）．
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）若方程f（x）=1恰有3个不同的根，求实数a的取值范围；
（3）设a＞0，问是否存在x0∈(-1，
)，使得f（x0）＞g（x0），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）若方程f（x）=1恰有3个不同的根，求实数a的取值范围；
（3）设a＞0，问是否存在x0∈(-1，
| a | 3 |
分析：（1）对函数f（x）求导，由f'（x）=0，可得=a或
，而g（x）在x=
处有极大值，故可建立方程，即可求得结论；
（2）根据题意，方程f（x）-1=0恰有3个不同的根，比较极值点的大小，即可得到结论；
（3）假设存在，存在x∈(-1，
)，使得使得f（x）-g（x）＞0，由x∈(-1，
)及a＞0，可得x-a＜0，从而使得x2+（1-a）x+1＜0，结合二次函数的性质求解
| a |
| 3 |
| a-1 |
| 2 |
（2）根据题意，方程f（x）-1=0恰有3个不同的根，比较极值点的大小，即可得到结论；
（3）假设存在，存在x∈(-1，
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
解答：解：（1）f（x）=x（x-a）2=x3-2ax2+a2x，则f'（x）=3x2-4ax+a2=（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，得x=a或
，而g（x）在x=
处有极大值，
∴
=a或
=
∴a=-1或a=3；
（2）根据题意，方程f（x）-1=0恰有3个不同的根
1°当
＞a即a＜0时，f（x）在x=a处取得极大值，而f（a）=0，不符合题意，舍去；
2°当
=a即a=0时，不符合题意，舍去；
3°当
＜a即a＞0时，f（x）在x=
处取得极大值，f（
）＞1，
∴a＞
（3）假设存在，即存在x∈(-1，
)，使得f（x）-g（x）=x（x-a）2-[-x2+（a-1）x+a]=x（x-a）2+（x-a）（x+1）=（x-a）[x2+（1-a）x+1]＞0，
当x∈(-1，
)时，又a＞0，故x-a＜0，
则存在x∈(-1，
)，使得x2+（1-a）x+1＜0，
1°当
＞
即a＞3时，（
）2+（1-a）×
+1＜0得a＞3或a＜-
，∴a＞3；
2°当-1≤
≤
，即0＜a≤3时，
＜0得a＜-1或a＞3，∴a无解；
综上：a＞3．
令f'（x）=0，得x=a或
| a |
| 3 |
| a-1 |
| 2 |
∴
| a-1 |
| 2 |
| a-1 |
| 2 |
| a |
| 3 |
∴a=-1或a=3；
（2）根据题意，方程f（x）-1=0恰有3个不同的根
1°当
| a |
| 3 |
2°当
| a |
| 3 |
3°当
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
∴a＞
3
| |||
| 2 |
（3）假设存在，即存在x∈(-1，
| a |
| 3 |
当x∈(-1，
| a |
| 3 |
则存在x∈(-1，
| a |
| 3 |
1°当
| a-1 |
| 2 |
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
2°当-1≤
| a-1 |
| 2 |
| a |
| 3 |
| 4-(a-1)2 |
| 4 |
综上：a＞3．
点评：本题主要考查了导数在求解极值中的应用，解得本题不但要熟练掌握函数的导数的相关的知识，还要具备一定的逻辑推理的能力，属于中档题．
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| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
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|