Question

已知函数f（x）=

2X-1

2X+1

（1）判断f（x）的奇偶性；          
（2）求函数的值域；
（3）判断并用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）用函数的奇偶性定义判断，先求函数的定义域，看是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）是相等还是相反即可
（2）可运用分离常数的办法求此函数的值域，将函数f（x）=

2X-1

2X+1

等价转化为f（x）=1-

2

2X+1

，再由复合函数值域的求法即换元法，求此函数值域即可
（3）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），并利用指数的运算性质，判断出f（x₁）与f（x₂）的大小，即可证明f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．

解答：解：（1）函数的定义域为R，
f（-x）+f（x）=

2-X-1

2-X+1

+

2X-1

2X+1

=

(2X-1)•(2-X+1)+(2-X-1)•(2X+1)

(2X+1)•(2-X+1)

=0
∴函数f（x）为奇函数  
 （2）∵f（x）=

2X-1

2X+1

=1-

2

2X+1

设t=a^x，则t＞0，y=1-

2

t+1

的值域为（-1，1）
∴该函数的值域为（-1，1）
（3）f（x）是（-∞，+∞）上的增函数
证明：设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=

2X1-1

2X1+1

-

2X2-1

2X2+1

=

2(2X1-2X2)

(2X1+1)•(2X2+1)

∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∴a^x₁-a^x₂＜0，a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，
∴

2(2X1-2X2)

(2X1+1)•(2X2+1)

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数

点评：本题考察了函数奇偶性的定义和判断方法，求函数值域的方法和证明函数单调性的方法，解题时要准确把握基本概念，熟练的运用转化化归思想解题