题目内容

某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：
方案一：建设两个日处理污水量分别为x_l和x₂（单位：万m³/d）的污水厂，且3≤x_l≤5，3≤x₂≤5．
方案二：建设一个日处理污水量为x_l+x₂（单位：万m³/d）的污水厂．
经调研知：
（1）污水处理厂的建设费用P（单位：万元）与日处理污水量x（单位：万m³/d）的关系为P=40x²；
（2）每处理1m³的污水所需运行费用Q（单位：元）与日处理污水量x（单位：万m³/d）的关系为：Q=

0.4 (6≤x≤10)

0.6 (3≤x≤5)

．
（I）如果仅考虑建设费用，哪个方案更经济？
（Ⅱ）若x_l+x₂=8，问：只需运行多少年，方案二的总费用就不超过方案一的总费用？
注：一年以250个工作日计算；总费用=建设费用+运行费用．

分析：（Ⅰ）由题意得出两个方案的建设费用，再利用基本不等式的性质即可得出；
（Ⅱ）由题意得出两个方案的总费用，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）如果仅考虑建设费用，若使用方案一：P₁=40

x

2

1

+40

x

2

2

，
若使用方案二：P2=40(x1+x2)2=40

x

2

1

+40

x

2

2

+80x1x2
∵3≤x_l≤5，3≤x₂≤5，∴P₂＞P₁．
故使用方案一更经济．
（Ⅱ）由题意，运行n年后，Q1=40

x

2

1

+0.6x1×250n+40

x

2

2

+0.6x2×250n，
Q2=40(x1+x2)2+0.4(x1+x2)×250n，
由Q₁≥Q₂，化为0.2（x₁+x₂）×250n≥80x₁x₂，
∵x₁+x₂=8，∴5n≥x₁x₂，∴5n≥x₁（8-x₁）．
∵x₁∈[3，5]，∴x1(8-x1)=-

x

2

1

+8x1=-(x1-4)2+16，∴x₁（8-x₁）∈[15，16]，
∴当x₁=3或5时，即x₁（8-x₁）=15，经过3年方案二与方案一的总费用相等．
当x₁∈（3，5]时，x₁（8-x₁）∈（15，15]，只需经过4年方案二的总费用就少于方案一的总费用．

点评：正确得出两个方案费用的表达式并熟练掌握基本不等式的性质和二次函数的单调性是解题的关键．

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方案二：建设一个日处理污水量为x_l+x₂（单位：万m³/d）的污水厂．
经调研知：
（1）污水处理厂的建设费用P（单位：万元）与日处理污水量x（单位：万m³/d）的关系为P=40x²；
（2）每处理1m³的污水所需运行费用Q（单位：元）与日处理污水量x（单位：万m³/d）的关系为： $数学公式$ ．
（I）如果仅考虑建设费用，哪个方案更经济？
（Ⅱ）若x_l+x₂=8，问：只需运行多少年，方案二的总费用就不超过方案一的总费用？
注：一年以250个工作日计算；总费用=建设费用+运行费用．