Question

13．对任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式tanx•f（x）＜f′（x）恒成立，则下列不等式错误的是（　　）

• A． f（$\frac{π}{3}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）
• B． f（$\frac{π}{3}$）＞2cos1•f（1）
• C． f（$\frac{π}{4}$）＜2cos1•f（1）
• D． f（$\frac{π}{4}$）＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 由题意可判断f（x）cosx在（0，$\frac{π}{2}$）上是增函数，从而依次判断不等式即可．

解答 解：∵对任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式tanx•f（x）＜f′（x）恒成立，
∴对任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式$\frac{sinx}{cosx}$•f（x）-f′（x）＜0恒成立，
∴对任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式sinx•f（x）-cosxf′（x）＜0恒成立，
又∵（f（x）cosx）′=cosxf′（x）-sinx•f（x），
∴对任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），不等式（f（x）cosx）′＞0恒成立，
∴f（x）cosx在（0，$\frac{π}{2}$）上是增函数，
∴cos$\frac{π}{3}$f（$\frac{π}{3}$）＞cos$\frac{π}{4}$f（$\frac{π}{4}$），
即f（$\frac{π}{3}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），故A正确；
cos$\frac{π}{3}$f（$\frac{π}{3}$）＞cos1f（1），
即f（$\frac{π}{3}$）＞2cos1f（1），故B正确；
cos1f（1）＞cos$\frac{π}{4}$f（$\frac{π}{4}$），
即f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{2}$cos1•f（1）＜2cos1•f（1），故C正确；
cos$\frac{π}{4}$f（$\frac{π}{4}$）＞cos$\frac{π}{6}$f（$\frac{π}{6}$），
即f（$\frac{π}{4}$）＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$f（$\frac{π}{6}$），故D错误；
故选：D．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的单调性的判断与应用．