Question

【题目】已知圆C经过点，且圆心在直线上，又直线与圆C交于P,Q两点.

（1）求圆C的方程；

（2）若，求实数的值；

(3)过点作直线，且交圆C于M,N两点，求四边形的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）x 2 +y 2 =4（2）k=0（3）7

【解析】试题分析：（1）设圆心为，半径为．故，建立方程，从而可求圆的方程；（2）利用向量的数量积公式，求得，计算圆心到直线的距离，即可求解实数的值；（3）方法1、设圆到直线的距离分别为，求得，根据垂径定理和勾股定理，可得，在利用基本不等式，可求四边形面积的最大值；方法2、利用弦长公式， ，表示三角形的面积，在利用基本不等式，可求四边形面积的最大值．

试题解析：（1）设圆心为，半径为．故，易得，

因此圆的方程为．

（2）因为，且与的夹角为，

故， ，所以到直线的距离，又，所以．

又解：设P， ，则，即，

由得，∴，

代入得，∴；

（3）设圆心到直线的距离分别为，四边形的面积为．

因为直线都经过点，且，根据勾股定理，有，

又，

故

当且仅当时，等号成立，所以．

（3）又解：由已知，由（2）的又解可得，

同理可得，

∴

，

当且仅当时等号成立，所以．