Question

已知数列{a_n}中，a₂=a+2（a为常数），S_n为{a_n}的前n项和，且S_n是na_n与na的等差中项．
（Ⅰ）求a₁，a₃并归纳出a_n（不用证明）；
（Ⅱ）若b_n=3ⁿ且a=2，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n是na_n与na的等差中项．我们可能得到S_n、na_n与na的关系式，从n=1依次代入整数值，再结合a₂=a+2（a为常数），不难给出a₁，a₃；
（2）通过（1）可知a_n的表达式，若b_n=3ⁿ且a=2，发现数列{a_n•b_n}的通项是等差和等比的对应项相乘而得，因此可以用错位相减法来求出T_n前n项和的表达式，

解答：解：（1）a₁=a，a₃=a+4，解：（1）由已知得 Sn=

nan+na

2

，
当n=1时，
S₁=a₁则2a₁=a₁+a，
得a₁=a．
当n=3时，S₃=a₁+a₂+a₃
则2（a₁+a₂+a₃）=3（a₃+a）
∴a₃=a+4
由此可以归纳得：a_n=a+2（n-1）
（2）由（Ⅱ）可知a_n=a+2（n-1）=2n，b_n=3ⁿ；a_n•b_n=2n3ⁿ；
T_n=2•3+4•3²+8•3³+…+（2n-2）•3^n-1+2n•3ⁿ．①
2T_n=2•2²+4•2³+…+4（n-1）•2ⁿ+4n•3ⁿ⁺¹．②
②-①得 Tn=

3

2

-

3

2

•3n+n•3n+1，
所以数列{a_n•b_n}的前n项和为Tn=

3

2

-

3

2

•3n+n•3n+1

点评：本题考查的知识点是数列的求和以及归纳推理的常用法，属于中档题．在归纳中要注意项和序号之间的对应关系，用错位相减法求数列的和时要看准项的正负，不要把符号弄错．