Question

【题目】已知函数f（x）= （a，b∈R）在点 （2，f（2）） 处切线的斜率为﹣ ﹣ln 2，且函数过点（4， ）． （Ⅰ）求a、b 的值及函数 f （x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）= （k∈N*），对任意的实数x0＞1，都存在实数x1 ， x2满足0＜x1＜x2＜x0 ， 使得f（x0）=f（x1）=f（x2），求k 的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）= （a，b∈R）， ∴f（x）定义域为（0，1）∪（1，+∞），

∵函数f（x）在点 （2，f （2）） 处切线的斜率为﹣ ﹣ln 2，且函数过点（4， ）．
∴
∴ ，
∴
∴
记 ，则 ，
h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
h（x）≤h（1）=﹣1＜0
∴ 恒成立，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）由题得，原问题转化为f（x）＜g（x）在x∈（0，1）上恒成立，
f（x）＞g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即 在x∈（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，
，
∴φ（x）在（0，1），（1，k）上单调递减，（k，+∞）上单调递增，
当x∈（0，1）时，φ（x）＞φ（1）=1＞0…（9分）
当x∈（1，+∞）时，φ（x）≥φ（k）=lnk﹣k+2，∴lnk﹣k+2＞0
记Φ（k）=lnk﹣k+2，则 恒成立，
Φ（k）在k∈[1，+∞）上是减函数，
Φ（3）=ln3﹣1＞0，Φ（4）=ln4﹣2＜0，
∴k的最大值为3．
【解析】（Ⅰ）先求出f（x）定义域为（0，1）∪（1，+∞）， ，由函数f（x）在点 （2，f （2）） 处切线的斜率为﹣ ﹣ln 2，且函数过点（4， ），列出方程组求出a，b，从而 记 ，则 ，利用导数性质能求出函数 f （x）的单调区间．（Ⅱ）原问题转化为f（x）＜g（x）在x∈（0，1）上恒成立，f（x）＞g（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，从而 在x∈（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，由此利用导数性质能求出k的最大值．