Question

设数列{a_n}满足，令．
（1）试判断数列{b_n}是否为等差数列？并求数列{b_n}的通项公式；
（2）令，是否存在实数a，使得不等式对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）比较与的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知配凑出4a_n+1+1、4a_n+1即b_n+1、b_n的形式，然后根据等差数列的定义求解；
（2）构造数列c_n=，在（1）的基础上，求出c_n表达式，利用c_n的单调性求出c_n的最大值，从而转化为不等式求解问题，进而完成对a的探索．
（3）构造函数，利用函数的单调性分n≤2和n≥3两种情况探索．
解答：解：（1）由已知得，
即，（2分）
所以b_n+1²=b_n²+2b_n+1，即b_n+1=b_n+1，
又b₁=1，所以数列{b_n}为等差数列，
通项公式为b_n=n（n∈N^*）．
（2）令c_n=，
由，
得
=
所以，数列{c_n}为单调递减数列，（8分）
所以数列{c_n}的最大项为，
若不等式对一切n∈N^*都成立，只需，
解得，
又a＞0，a≠1，
所以a的取值范围为．（12分）
（3）问题可转化为比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ的大小．
设函数，所以．
当0＜x＜e时，f'（x）＞0；
当x＞e时，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，e）上为增函数；在（e，+∞）上为减函数．
当n=1，2时，显然有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n≥3时，f（n）＞f（n+1），即，
所以（n+1）lnn＞nln（n+1），即lnnⁿ⁺¹＞ln（n+1）ⁿ，
所以nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．
综上：当n=1，2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，即；
当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ即．（16分）
点评：本题主要考查数列、函数、导数、不等式等基础知识，分类讨论、化归思想等数学思想方法，以及推理、分析与解决问题的能力．