Question

已知椭圆：，过点作圆的切线交椭圆于A，B两点。
（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；
（2）求的取值范围；
（3）将表示为的函数，并求的最大值．

Answer 1

（1）椭圆的焦点坐标为，离心率为；（2）；（3）．当时，，所以的最大值为2．

解析试题分析：（1）由已知及，，关系可得的值，从而得椭圆的焦点坐标．由离心率计算公式可求得椭圆的离心率；（2）过点能作圆的切线，则此点在圆上或圆外，由此可得的取值范围；（3）先考虑过点所作的圆的切线斜率不存在的情形，即先求和时的长；再考虑时的情形．设切线的方程为，代入椭圆方程消去得关于的一元二次方程：，设两点的坐标分别为，利用韦达定理可得及的值，代入弦长公式，可得弦长的表达式，利用圆的切线性质消去，得弦长关于的函数，最后利用均值不等式可求得的最大值．
试题解析：（1）由已知可得．所以椭圆的焦点坐标为离心率为；                                 4分
（2）由题意知，，即；                    6分
（3）当时，切线的方程为，点的坐标为，此时．
当时，同理可得                            8分
当时，设切线的方程为，由；
设两点的坐标分别为，则；    10分
又由与圆                 11分
．
．，且当时，，所以的最大值为2．                                      15分
考点：1．求椭圆离心率；2．圆的切线；．3．直线和椭圆的相交弦长的计算；4．均值不等式的应用．