题目内容

研究函数 $数学公式$ 的单调性，并求解方程：3^x+4^x+5^x=6^x．

解：∵0＜ $\text{[math]}$ ＜1，0＜ $\text{[math]}$ ＜1，0＜ $\text{[math]}$ ＜1，
∴y= $\text{[math]}$ 、y= $\text{[math]}$ 、y= $\text{[math]}$ 都是减函数，故 $\text{[math]}$ 在其定义域
内是减函数．
∵x=3时，3^x+4^x+5^x=216，6³=216，令 y（x）=3^x+4^x+5^x-6^x，
由y（x）的导数大于0知，y（x）是一个增函数，y（2）=50-36＞0，y（4）=962-1296＜0，
故 3^x+4^x+5^x=6^x 的解是 x=3．
分析：由y= $\text{[math]}$ 、y= $\text{[math]}$ 、y= $\text{[math]}$ 都是减函数可得 $\text{[math]}$ 是减函数，令 y（x）=3^x+4^x+5^x-6^x，由y（x）的导数大于0知，y（x）是一个增函数，y（2）＞0，y（4）＜0，y（3）=0，可得答案．
点评：本题考查指数函数单调性和特殊点，几个单调减函数的和还是减函数，指数方程的解法．

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【解析】本试题考查了运用导数来研究函数的单调性，并求解参数的取值范围。与此同时还能对于方程解的问题，转化为图像与图像的交点问题来长处理的数学思想的运用。

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