题目内容
设a1，a2，…，an（n≥4）是各项均不为零的等差数列，且公差d≠0．设α（n）是将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）为等比数列的最大的n值，则α（n）=（ ）
| A、4 | B、5 | C、6 | D、7 |
分析：先看当n=4时，将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列．如果删去a1，或a4，则等于有3个项既是等差又是等比．可以证明在公差不等于零的情况下不成立，进而推断删去的是a2，或a3．如果删去的是a2，根据等差数列的通项公式代入a1：a3=a3：a4，求得
=-4．同理如果如果删去的是a3，求得
=1，再看当n=5时，由（1）知道，a1．a5不能删．如果删去a2，则a3，a4，a5既是等差又是等比，不成立．同样a4不能删．如果删去a3，根据等差数列通项公式和a1：a2=a4：a5，代入发现不成立，进而推断n＞5时也不成立，进而推断n只能是4．
| a1 |
| d |
| a1 |
| d |
解答：解：（1）当n=4时
有a1，a2，a3，a4．
将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列．
如果删去a1，或a4，则等于有3个项既是等差又是等比．
可以证明在公差不等于零的情况下不成立
（a-d）：a=a：（a+d）
a2=a2-d2
所以d=0
可以知道删去的是a2，或a3．
如果删去的是a2，
a1：a3=a3：a4
a1（a1+3d）=（a1+2d）2
3a1d=4a1d+4d2
4d2+a1*d=0
4d+a1=0
=-4．
如果删去的是a3，
a1：a2=a2：a4
a1（a1+3d）=（a1+d）2
3a1d=2a1d+d2
a1d=d2
a1=d
=1．
可得
=-4或1．
（2）n=5时，由（1）知道，a1．a5不能删．
如果删去a2，
则a3，a4，a5既是等差又是等比，不成立．
同样a4不能删．
如果删去a3，
a1：a2=a4：a5
a1a5=a2a4
（a3-2d）（a3+2d）=（a3-d）（a3+d）
a32-4d2=a32-d2
不成立．
所以n只能为4．
故选A
有a1，a2，a3，a4．
将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列．
如果删去a1，或a4，则等于有3个项既是等差又是等比．
可以证明在公差不等于零的情况下不成立
（a-d）：a=a：（a+d）
a2=a2-d2
所以d=0
可以知道删去的是a2，或a3．
如果删去的是a2，
a1：a3=a3：a4
a1（a1+3d）=（a1+2d）2
3a1d=4a1d+4d2
4d2+a1*d=0
4d+a1=0
| a1 |
| d |
如果删去的是a3，
a1：a2=a2：a4
a1（a1+3d）=（a1+d）2
3a1d=2a1d+d2
a1d=d2
a1=d
| a1 |
| d |
可得
| a1 |
| d |
（2）n=5时，由（1）知道，a1．a5不能删．
如果删去a2，
则a3，a4，a5既是等差又是等比，不成立．
同样a4不能删．
如果删去a3，
a1：a2=a4：a5
a1a5=a2a4
（a3-2d）（a3+2d）=（a3-d）（a3+d）
a32-4d2=a32-d2
不成立．
所以n只能为4．
故选A
点评：本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．属中档题．
练习册系列答案
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+
=1=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（ ）
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
+
=1(a>b>0)长轴的两个端点,P1P2是垂直于x轴的弦,求直线A1P1、A2P2的交点P的轨迹方程.
+
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