Question

已知线段AB的端点B的坐标为（1，2），端点A在圆C：（x+1）²+y²=4运动．
①求线段AB的中点M的轨迹方程．
②过B点的直线l与圆C有两个交点E、D，当CE⊥CD时，求l的斜率．

Answer 1

分析：（1）设线段AB中点M（x，y），A（x₁，y₁），由题意知：

x= x1+1 2 y= y1+2 2

，故

x1=2x-1 y1=2y-2

，由点A在圆（x+1）²+y²=4上运动，能求出点M的轨迹方程．
（2）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：kx-y-k+2=0，圆C：（x+1）²+y²=4的圆心C（-1，0），半径r=2，由CE⊥CD，知△CED为等腰直角三角形．由圆C的半径为2，知点C到直线l的距离为

2

，由此能求出直线l的斜率．

解答：解：（1）设线段AB中点M（x，y），A（x₁，y₁），
由题意知：

x= x1+1 2 y= y1+2 2

，∴

x1=2x-1 y1=2y-2

，
∵点A在圆（x+1）²+y²=4上运动，
∴（2x-1+1）²+（2y-2）²=4，
整理，得x²+（y-1）²=1，
所以，点M的轨迹方程是：x²+（y-1）²=1．
（2）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：
y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
圆C：（x+1）²+y²=4的圆心C（-1，0），半径r=2，
∵CE⊥CD，
∴△CED为等腰直角三角形．
∵圆C的半径为2，
∴点C到直线l的距离为

2

，
∴

|-k-0-k+2|

k2+1

=

2

，
解得k=2±

3

，
∴直线l的斜率为2+

3

或2-

3

．

点评：本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查直线的斜率的求法，具体涉及到圆的简单性质、点到直线的距离公式等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．