Question

已知线段AB的端点B的坐标为（4，3），端点A在圆（x+1）²+y²=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明M的轨迹是什么图形．

Answer 1

分析：利用M、N为AB、PB的中点，根据三角形中位线定理得出：MN∥PA且MN=

1

2

PA=1，从而动点M的轨迹为以N为圆心，半径长为1的圆．最后写出其轨迹方程即可．

解答：解：圆（x+1）²+y²=4的圆心为P（-1，0），半径长为2，
线段AB中点为M（x，y）
取PB中点N，其坐标为（

-1+4

2

，

0+3

2

），即N（

3

2

，

3

2

）
∵M、N为AB、PB的中点，
∴MN∥PA且MN=

1

2

PA=1．
∴动点M的轨迹为以N为圆心，半径长为1的圆．
所求轨迹方程为：(x-

3

2

)2+(y-

3

2

)2=1
可见，M的轨迹是以(

3

2

，

3

2

)为圆心，半径为1的圆．

点评：本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法是若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．