Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，B={x|

x-a

x-(a2+1)

＜0}．
（Ⅰ）当a=2时，求A∩B；
（Ⅱ）求使B⊆A的实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=2时，先化简集合A和B，后再求交集即可；
（Ⅱ）先化简集合B：B={x|a＜x＜a²+1}，再根据题中条件：“B⊆A”对参数a分类讨论：①当3a+1=2，②当3a+1＞2，③当3a+1＜2，分别求出a的范围，最后进行综合即得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，A={x|2＜x＜7}，B={x|2＜x＜5}
∴A∩B={x|2＜x＜5}（4分）
（Ⅱ）∵（a²+1）-a=（a-

1

2

）²+

3

4

＞0，即a²+1＞a
∴B={x|a＜x＜a²+1}
①当3a+1=2，即a=

1

3

时A=Φ，不存在a使B⊆A（6分）
②当3a+1＞2，即a＞

1

3

时A={x|2＜x＜3a+1}由B⊆A得：

a≥2 a2+1≤3a+1

?2≤a≤3（8分）
③当3a+1＜2，即a＜

1

3

时A={x|3a+1＜x＜2}由B⊆A得

3a+1≤a a2+1≤2

?-1≤a≤-

1

2

?（12分）
综上，a的范围为：[-1，-

1

2

]∪[2，3]（14分）

点评：本小题主要考查集合的包含关系判断及应用、交集及其运算、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．