Question

已知函数f（x）=，且f（1）=5
（1）求a的值
（2）判断函数f（x）的奇偶性
（3）若x∈（0，+∞），求函数f（x）的最小值，并求出相应的x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依条件有f（1）=a+4=5，由此可得a的值．
（2）由（1）可知f（x）=，显然f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，且满足f（-x）=f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）由x＞0，＞0，f（x）==x+，利用基本不等式求得它的最小值．
解答：解：（1）依条件有f（1）=a+4=5，所以a=1．…（3分）
（2）由（1）可知f（x）=．显然f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
对于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有-x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
所以f（-x）===f（x）．
所以函数f（x）为奇函数．…（6分）
（3）∵x∈（0，+∞），∴x＞0，＞0．
故f（x）==x+≥2=4，
当且仅当x=即x=2时，函数f（x）取得的最小值为4．…（10分）
点评：本题主要考查函数的奇偶性、基本不等式的应用，属于中档题．