Question

已知等边三角形ABC的高为h，它的内切圆半径为r，则r：h=1：3，由此类比得：已知正四面体的高为H，它的内切球半径为R，则R：H=

1：4

．

Answer 1

分析：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的 1：4，证明时连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为R的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．

解答：解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，
可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的 1：4．
证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径R，连接球心与正四面体的四个顶点．
把正四面体分成四个高为R的三棱锥，所以4×

1

3

S•R=

1

3

•S•H，R=

1

4

H．
（其中S为正四面体一个面的面积，H为正四面体的高）
故答案为：1：4．

点评：本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．