Question

已知函数（为实常数）．

（1）若，作函数的图像；

（2）设在区间上的最小值为，求的表达式；

（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）图象略 （2）

（3）

解析:

（1）当时，

    ．作图（如右所示）

                          ……（4分）

（2）当时，．

若，则在区间上是减函数，

．……（5分）

若，则，图像的对称轴是直线．

当时，在区间上是减函数，．……（6分）

当，即时，在区间上是增函数，

．……（7分）

当，即时，，……（8分）

当，即时，在区间上是减函数，

．……（9分）

综上可得 ．……（10分）

（3）当时，，在区间上任取，，且，

则

．……（12分）

因为在区间上是增函数，所以，

因为，，所以，即，

当时，上面的不等式变为，即时结论成立．……（13分）

当时，，由得，，解得，…（14分）

当时，，由得，，解得，（15分）

所以，实数的取值范围为．……（16分）