Question

（12分）设函数，曲线在点处的切线方程为
（I）求
（II）证明：

Answer 1

（I）；（II）详见解析.

试题分析：（I）由切点在切线上，代入得①．由导数的几何意义得②，联立①②求；（II）证明成立，可转化为求函数的最小值，只要最小值大于1即可．该题不易求函数的最小值，故可考虑将不等式结构变形为，分别求函数和的最值，发现在的最小值为，在的最大值为．且不同时取最值，故成立，即注意该种方法有局限性只是不等式的充分不必要条件，意即当成立，最值之间不一定有上述关系．
试题解析：（I）函数的定义域为．．
由题意可得，．故．
（II）由（I）知，，从而等价于，设函数，则．所以当时，；当时，．故在递减，在递增，从而在的最小值为．设，则．所以当时，；当时，．故在递增，在递减，从而在的最大值为．综上，当时，，即．
【考点定位】1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数的单调性；3、利用导数求函数的最值．