Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（3）试问线段A₁B上是否存在点E，使C₁E与平面ADC₁成30°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直三棱柱的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可得出；
（2）由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB₁两两垂直．如图建立空间直角坐标系B-xyz．利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角；
（3）利用线面角的夹角公式即可得出．
解答：（1）证明：连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD．
由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点．
又D为BC中点，∴OD为△A₁BC中位线，
∴A₁B∥OD．
∵OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，∴A₁B∥平面ADC₁．
（2）解：由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB₁两两垂直．
如图建立空间直角坐标B-xyz．
设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），D（1，0，0）．
所以 ，
设平面ADC₁的法向量为，则，
所以 ，取y=1，得．
易知平面ADC的法向量为=（0，0，1）．
由二面角C₁-AD-C是锐角，得 ==．
所以二面角C₁-AD-C的余弦值为．
（3）解：假设存在满足条件的点E，设E（0，a，b）．
∵E在线段A₁B上，由=且其中0≤λ≤1，
即（0，a，b）=λ（0，2，1），，E（0，2λ，λ）．
∴，
以由（2）知，∵与平面ADC₁成30角，
∴．
即，，
化为45λ²-18λ+29=0，
∵△＜0，∴方程无解．
所以在线段A₁B上不存在点E．
点评：熟练掌握直三棱柱的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系B-xyz并利用两个平面的法向量的夹角求二面角、线面角的夹角公式等是解题的关键．．