Question

已知函数．

（1）函数在区间上是增函数还是减函数?证明你的结论；

（2）若当时，恒成立, 求正整数k的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

函数在区间上是减函数；3 解：(1)　＝＝－ ∵，∴，．∴＜0。 因此函数在区间上是减函数． （2）（方法1）当时，恒成立,　令有 又k为正整数．∴k的最大值不大于3． 下面证明当k＝3时，（）恒成立． 即证当时，＋1－2x>0恒成立． 令g(x)＝＋＋1－2x，则＝－1， 当x>e－1时，＞0；当0＜x＜e－1时，＜0． ∴当x＝e－1时，g（x）取得最小值g(e－1)＝3－e＞0． ∴当x>0时，＋1－2x＞0恒成立． 因此正整数k的最大值为3． （2）（方法2）当x>0时，f（x）＞恒成立, 即h（x）=>k对x>0恒成立.即h（x）(x>0) 的最小值大于k.. =,记＝x－1－ln（x＋1）．(x>0) 则＝＞0，∴在（0，＋）上连续递增， 又＝1－ln3<0,＝2－2ｌｎ2＞0， ∴＝0存在惟一实根ａ，且满足：a ，a＝1＋ｌn(a+1)． 由x＞ａ时，＞0，＞0；0＜x＜ａ时，＜0，＜0知： h（x）(x>0) 的最小值为h（a）＝＝a＋1． 因此正整数k的最大值为3．