Question

已知直线l：3x+4y-2=0
（Ⅰ）求经过直线l与直线x+3y-4=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0的方程；
（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）联立直线l与直线x+3y-4=0组成方程组，求出方程组的解得到交点P的坐标，由两直线垂直时斜率的乘积为-1，及直线x-2y-1=0的斜率，求出所求直线的斜率，即可确定出所求直线的方程；
（Ⅱ）对于直线l，分别令x与y为0，求出对应y与x的值，确定出直线与坐标轴交点坐标，由两坐标轴垂直，得到一个角为直角，利用直角所对的弦为直径，利用勾股定理求出直径的长，进而确定出半径的长，由线段中点坐标公式求出圆心坐标，即可确定出三角形外接圆的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：

3x+4y-2=0 x+3y-4=0

，
解得：

x=-2 y=2

，即P（-2，2），
∵所求直线垂直于直线x-2y-1=0的方程，
∴所求直线的斜率为-2，
则所求直线方程为y-2=-2（x+2），即2x+y+2=0；
（Ⅱ）对于直线l：3x+4y-2=0，
令x=0，解得y=

1

2

；令y=0，解得x=

2

3

，
∴直线l与坐标轴的交点为（0，

1

2

），（

2

3

，0），
∴外接圆圆心坐标为（

1

3

，

1

4

），三角形外接圆直径为

( 1 2 )2+( 2 3 )2

=

5

6

，即半径为

5

12

，
则三角形外接圆方程为（x-

1

3

）²+（y-

1

4

）²=

25

144

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直线的一般式方程与直线的垂直关系，以及两直线的交点坐标，是一道综合性较强的题．