题目内容

设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x₁，x₂∈（0，1），恒有 $数学公式$ ，则下面关于函数f（x）判断正确的是

A.
对任意 $数学公式$ ，都有f（x）＞f（1-x）
B.
对任意 $数学公式$ ，都有f（x）＜f（1-x）
C.
对任意 $数学公式$ ，都有f（x₁）＜f（x₂）
D.
对任意 $数学公式$ ，都有f（x₁）=f（x₂）

D
分析：由已知不等式将x₁、x₂互换位置，可得 $\text{[math]}$ ，再将其与已知式相加，得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 任意x₁，x₂∈（0，1）恒成立．再根据基本不等式，证出 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥4恒成立，所以有 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =4，结合基本不等式取等号的条件，可得f（x₁）=f（x₂）对任意x₁、
x₂∈（0，1）恒成立．由以上结论，对照各个选项，则不难得到本题的答案．
解答：∵对任意x₁，x₂∈（0，1），恒有 $\text{[math]}$ ，…（1）
∴将x₁、x₂的位置互换，可得 $\text{[math]}$ ，…（2）
（1）（2）相加，得 $\text{[math]}$ ，…（3）
又∵对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0
∴由基本不等式，得 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$
两式相加，得 $\text{[math]}$ …（4）
对照（3）（4），可得 $\text{[math]}$ 任意x₁，x₂∈（0，1）恒成立
结合基本不等式的等号成立的条件，可得 $\text{[math]}$ ，故f（x₁）=f（x₂）对任意x₁，x₂∈（0，1）恒成立．
由以上的结论，可得D选项正确，而C选项与D矛盾，故不正确
而A、B中的结论应该改成对任意 $\text{[math]}$ ，都有f（x）=f（1-x）
故答案为：D
点评：本题给出抽象函数和已知不等式，判断几个命题的真假性，着重考查了函数的自变量的对称性、不等式的性质和基本不等式等知识，属于基础题．