Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若|FM|=2|ME|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、3
• B、2
• C、

  3

• D、

  2

Answer 1

分析：先根据条件求出EF的方程，得到E．F的坐标，再根据|FM|=2|ME|，求出M的坐标，结合点M在渐近线上得到a，b之间的关系，即可求出答案．

解答：解：渐近线方程是y=±

b

a

x
右焦点的坐标是（c，0）
现在假设由右焦点向一、三象限的渐近线引垂线
所以取方程y=

b

a

x
因为EF垂直于渐近线     
所以 直线EF的斜率是-

a

b

该直线的方程是y=-

a

b

（x-c）
当x=0时，y=

ac

b

所以E点的坐标（0，

ac

b

）
∵|FM|=2|ME|，
∴M的坐标（

c

3

，

2ac

3b

）
∵点M在渐近线上，则

2ac

3b

=

b

a

•

c

3

整理得：b²=2a²
所以：c²=3a²
∴c=

3

a．
所以离心率e=

c

a

=

3

．
故答案为

3

．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生转化和化归的数学思想的运用，以及基本的运算能力．