Question

【题目】已知直线 过坐标原点 ，圆 的方程为 ．
（1）当直线 的斜率为 时，求 与圆 相交所得的弦长；
（2）设直线 与圆 交于两点 ，且 为 的中点，求直线 的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，直线l的方程为y= x，圆C圆心为（0，3），半径为 ，
所以，圆心到直线l的距离为 = ．…
所以，所求弦长为2 =2
（2）解：设A（x1 ， y1），因为A为OB的中点，则B（2x1 ， 2y1）．
又A，B在圆C上，
所以 x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．
解得y1=1，x1=±1，
即A（1，1）或A（﹣1，1）
所以，直线l的方程为y=x或y=﹣x
【解析】（Ⅰ）由已知，直线l的方程为y=x，圆C圆心为（0，3），半径为，求出圆心到直线l的距离，即可求l与圆C相交所得的弦长；
（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求出A的坐标，即可求直线l的方程．几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d:
①相交：d＜r,
②相切：d=r,
③相离：d＞r.