题目内容
袋子A和B中分别装有若干个质地均匀，大小相同的红球和白球，从A中摸出一个球，得到红球的概率是| 1 |
| 3 |
（Ⅰ）若A，B两个袋子中的球数之比为1：3，将A，B中的球混装在一起后，从中摸出一个球，得到红球的概率是
| 3 |
| 4 |
（Ⅱ）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，若累计三次摸到红球即停止，最多摸球5次，5次之内（含5次）摸到红球的次数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
分析：（I）由题意设A中有x个球，B中有y个球，由于A，B两个袋子中的球数之比为1：3，且从A中摸出一个球，得到红球的概率是
，从B中摸出一个球，得到红球的概率为p，利用条件得方程解之得；
（II）由于从A从A中有放回地摸球，每次摸出一个，若累计三次摸到红球即停止，最多摸球5次，5次之内（含5次）摸到红球的次数为随机变量ξ中摸到一个红球的概率为
，所以可以得知：ξ的取值为0，1，2，利用二项分布及期望定义即可求得．
| 1 |
| 3 |
（II）由于从A从A中有放回地摸球，每次摸出一个，若累计三次摸到红球即停止，最多摸球5次，5次之内（含5次）摸到红球的次数为随机变量ξ中摸到一个红球的概率为
| 1 |
| 3 |
解答：解：（1）解设A中有x个球，B中有y个球，由题意知
=
且
=
解得：p=
（2）由题意知从A中摸到一个红球的概率为
，ξ的取值为0，1，2p(ξ=0)=
(
)0(
)5=
，3p(ξ=1)=
(
)1(
)4=
p(ξ=2)=
(
)2(
)3=
p(ξ=3)=(
)3+
(
)2(
)1
+
(
)2(
)2
=
Eξ=1×
+2×
+3×(
+
+
)=
．
| ||
| x+y |
| 3 |
| 4 |
| x |
| y |
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 9 |
（2）由题意知从A中摸到一个红球的概率为
| 1 |
| 3 |
| C | 0 5 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 32 |
| 243 |
| C | 1 5 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 80 |
| 243 |
| C | 2 5 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 80 |
| 243 |
| 1 |
| 3 |
| C | 2 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| C | 2 4 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 51 |
| 243 |
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
P |
|
|
|
|
| 80 |
| 243 |
| 80 |
| 243 |
| 9 |
| 243 |
| 18 |
| 243 |
| 24 |
| 243 |
| 131 |
| 81 |
点评：此题考查了学生的理解与计算能力，还考查了方程的思想，二项分布，随机变量的定义及分布列，还考查了期望的定义．
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