Question

已知函数f（x）=x²+ax+b．
（1）若对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，证明：b≥1；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为b-a+1，求a的取值范围；
（3）若a=-2，关于x的方程|f（x）|=1有4个不相等的实数根，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得x²+（a-2）x+b-a≥0恒成立，可得△=（a-2）²-4（b-a）≤0，由此求得b的范围．
（2）由于当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为b-a+1=f（-1），可得f（x）图象的对称轴x=-

a

2

要满足-

a

2

≥

-1+1

2

，由此求得a的范围．
（3）由题意可得方程x²-2x+b=1和x²-2x+b=-1各有两个不相等的实数根，故两个方程的判别式都要大于0，从而求得b的范围．

解答：解：（1）∵x²+ax+b≥2x+a恒成立，即x²+（a-2）x+b-a≥0恒成立．
∴△=（a-2）²-4（b-a）≤0，
∴a²+4-4b≤0，∴4-4b≤0，∴b≥1．------（5分）
（2）∵当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为b-a+1，即f（-1），
∴f（x）图象的对称轴x=-

a

2

要满足-

a

2

≥

-1+1

2

，
∴a≤0．--------（10分）
（3）∵关于x的方程|x²-2x+b|=1有4个不相等的实数根，
∴方程x²-2x+b=1和x²-2x+b=-1各有两个不相等的实数根，
∴两个方程的判别式都要大于0，
∴

4-4(b-1)＞0 4-4(b+1)＞0

，
解得b＜0．---（15分）

点评：本题主要考查方程根的存在性及个数判断，二次函数的性质应用，属于中档题．