Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，以后各项由公式a_n=a_n-1+

1

n(n-1)

（n≥2，n∈N^*）给出，则a₄=

7

4

．

Answer 1

分析：将a_n=a_n-1+

1

n(n-1)

，移向并裂项为a_n-a_n-1=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，再进行累加求出a₄．

解答：解：∵a_n=a_n-1+

1

n(n-1)

，∴a_n-a_n-1=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2，n∈N^*），
∴a₄=（a₄-a₃）+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=（

1

3

-

1

4

）+（

1

2

-

1

3

）+（1-

1

2

）+1
=

7

4

．
故答案为：

7

4

点评：本题考查数列的递推公式，裂项累加在数列中的应用．属于常规性知识和方法．