题目内容
已知数列{an}中，a1=4，an+1=2（an-n+1）．
（1）求证：数列{an-2n}为等比数列；
（2）设数列{an}的前n项的和为Sn，若Sn≥an+2n2，求：正整数n的最小值．
（1）求证：数列{an-2n}为等比数列；
（2）设数列{an}的前n项的和为Sn，若Sn≥an+2n2，求：正整数n的最小值．
分析：（1）欲证数列{an-2n}为等比数列，只需证得an+1-2（n+1）=2（an-2n），根据等式an+1=2（an-n+1）变形可得结论；
（2）根据（1）先求出an，从而求出Sn，然后代入不等式Sn≥an+2n2，从而求出正整数n的最小值．
（2）根据（1）先求出an，从而求出Sn，然后代入不等式Sn≥an+2n2，从而求出正整数n的最小值．
解答：（1）证明：∵an+1=2（an-n+1）
∴an+1-2（n+1）=2（an-2n）
∴{an-2n} 为等比数列；
（2）解：由（1）知，
an-2n=2n
∴an=2n+2n
∴Sn=2n+1+n2+n-2
由Sn≥an+2n2
可得2n+1+n2+n-2≥2n+2n+2n2，
∴2n≥n2+n+2
∴正整数n的最小值为5．
∴an+1-2（n+1）=2（an-2n）
∴{an-2n} 为等比数列；
（2）解：由（1）知，
an-2n=2n
∴an=2n+2n
∴Sn=2n+1+n2+n-2
由Sn≥an+2n2
可得2n+1+n2+n-2≥2n+2n+2n2，
∴2n≥n2+n+2
∴正整数n的最小值为5．
点评：本题主要考查了数列的求和，以及等比关系的确定，同时考查了计算能力，属于中档题．
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