Question

已知点A（-1，0），B（1，0），动点P（x，y）满足：PA与PB的斜率之积为3．设动点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）记点F（-2，0），曲线E上的任意一点C（x₁，y₁）满足：x₁＜-1，x₁≠-2且y₁＞0．
①求证：∠CFB=2∠CBF；
②设过点C的直线x=my+b与轨迹E相交于另一点D（x₂，y₂）（x₂＜-1，y₂＜0），若∠FCB与∠FDB互补，证明代数式3m²-4b的值为定值，并求出此定值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，利用直线的斜率公式能导出

y

x+1

•

y

x-1

=3，x≠±1，由此能求出曲线E的方程．
（2）①由tanα=

y1

x1+2

，tanβ=

y1

x1-1

，y12=3(x12-1)，利用二倍角公式能够证明tan2β=tanα．
②由题意C（x₁，y₁），y₁＞0，D（x₂，y₂），y₂＜0，联立

x=my+b 3x2-y2=3

，得（3m²-1）y²+6mby+3b²-3=0，利用根的判断别式、韦达定理、到角公式，结合题设条件能够证明代数式3m²-4b的值为定值．

解答：解：（1）∵点A（-1，0），B（1，0），动点P（x，y），
∴kPA=

y

x+1

，kPB=

y

x-1

，
∵PA与PB的斜率之积为3，
∴

y

x+1

•

y

x-1

=3，x≠±1，
∴x2-

y2

3

=1，(x＞1或x＜-1)．
（2）①设∠CFB=α，∠CBF=β，β为锐角，
则tanα=

y1

x1+2

，tanβ=

y1

x1-1

，y12=3(x12-1)，
∴tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

- 2y1 x1-1

1- y12 (x1-1)2

=

y1

x1+2

=tanα．
②由题意C（x₁，y₁），y₁＞0，D（x₂，y₂），y₂＜0，
联立

x=my+b 3x2-y2=3

，得（3m²-1）y²+6mby+3b²-3=0，
则△=12（b²+3m²-1）＞0，y1+y2=

-6mb

3m2-1

，y1y2=

3b2-3

3m2-1

＜0，
∵k=

1

m

＜-

3

，∴

1

m2

＞3，∴3m²-1＜0，
故y2-y1=

12(b2+3m2-1)

3m2-1

，
设∠DFB=γ，∠DBF=θ，
∵tanγ=-kDF=-

y2

x2+2

，tanθ=

y2

x2-1

，y22=3(x22-1)，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

2y2 x2-1

1- y22 (x2-1)2

=-

y2

x2+2

=tanγ，
∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），
∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，
∵α，2β∈（0，π），∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，
又∠DFB=2∠DBF，
∴∠FCB与∠FDB互补，即∠FCB+∠FDB=π，
∴2π-3∠CBF-3∠DBF=π，则∠CBD=

π

3

，
由到角公式，得

y2(x1-1)-y1(x2-1)

(x1-1)(x2-1)+y1y2

=

3

，
∴

(b-1)(y2-y1)

(m2+1)y1y2+m(b-1)(y1+y2)+(b-1)2

=

3

，
即

3(b2+3m2-1)

b+2

=

3

，
∴3m²-1=4b+4，
∴3m²-4b=5（定值）．

点评：本题考查曲线方程的求法，三角函数的证明，代数式的值为定值的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．