Question

已知椭圆C₁：（a＞b＞0）的右顶点为A（1，0），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1。

（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设点P在抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在点P处的切线与C₁交于点M、N。当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值。

Answer 1

解：（1）由题意，得 从而 因此，所求的椭圆方程为；
（2）如图，设 则抛物线C2在点P处的切线斜率为 直线MN的方程为：y=2tx-t2+h 将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2+（2tx-t2+h）2-4=0 即  ① 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点， 所以①式中的Δ=16[-t4+2（h+2）t2-h2+4] >0  ② 设线段MN的中点的横坐标是x3，则 设线段PA的中点的横坐标是x4，则 由题意，得x3=x4，即t2+（1+h）t+1=0  ③  由③式中的Δ2=（1+h）2-4≥0，得h≥1或h≤-3 当h≤-3时，h+2<0，4-h2<0，则不等式②不成立， 所以h≥1 当h=1时，代入方程③得t=-1 将h=1，t=-1代入不等式②，检验成立， 所以，h的最小值为1。