Question

（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形？ 若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）略
（2）

解：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为．   
∵ 两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，
∴．   所求椭圆方程为．                      ……………4分
（Ⅱ）假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为．
由   可得．
∴．
．其中
以为邻边的平行四边形是菱形


．
∴．                                                  ………………………12分