Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅲ）判断是否存在λ（λ∈Z），使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，∴（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，
即an+1=

an+2

2

，（2分）∵a₁=1，∴a2=

3

2

， a3=

7

4

；（4分）
（Ⅱ）证明：由题意，得a₁-2=-1，∵

an+1-2

an-2

=

an+2 2 -2

an-2

=

1

2

，∴{a_n-2}是首项为-1，公比为

1

2

的等比数列；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得an-2=-(

1

2

)n-1，∴an=2-(

1

2

)n-1，∵{a_n+S_n}是首项为a₁+S₁=2，公差为2的等差数列，∴a_n+S_n=2+（n-1）×2=2n，∴Sn=2n-2+(

1

2

)n-1，（9分）
设存在整数λ，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，
即存在整数λ，使不等式n-1+(

1

2

)n-1≥λ[2-(

1

2

)n-1]对任意的n∈N^*成立，∴当n=1时，不等式成立，解得λ≤1，（10分）
以下证明存在最大的整数λ=1，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立．
当n=2时，不等式化简为

3

2

≥

3

2

，成立；
当n≥3时，∵(Sn-n+1)-an=n-3+(

1

2

)n-2＞0，∴（S_n-n+1）＞a_n成立．
综上，知存在整数λ，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，且λ的最大值为1．（14分）