题目内容

无穷数列{an}中，，则a2+a4+a6+…+a2n+…=    ．
【答案】分析：先证明数列{an}成等以为首项，公比等于的比数列，说明是a2+a4+a6+…+a2n一个公比为，首项也是的等比数列的和，用公式求出其表达式，再取极限即可得出正确答案．
解答：解：∵
∴，
所以数列{an}构成以为首项，公比等于的等比数列
得a2n=
∴a2+a4+a6+…+a2n=
当n→+∞时，a2+a4+a6+…+a2n的极限是
故答案为：
点评：本题考查了等比数列的通项与求和、数列的极限等知识点，属于中档题．在解题应注意公式和结论的正确理解与准确运用．
练习册系列答案
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已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为10，公差为-2的等差数列；am+1，am+2，…a2m是首项为
1
2
，公比为
1
2
的等比数列（m≥3，m∈N*），并对任意n∈N*，均有an+2m=an成立．
（1）当m=12时，求a2010；
（2）若a52=
1
128
，试求m的值；
（3）判断是否存在m，使S128m+3≥2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是以10为首项，以-2为公差的等差数列；am+1，am+2，…，a2m是以
1
2
为首项，以
1
2
为公比的等比数列（m≥3，m∈N*）；并且对一切正整数n，都有an+2m=an成立．若a23=-2，则m=
 
．
已知无穷数列{an}中a1=1，且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常数-
1
2
，则无穷数列{an}的各项和
2
3
2
3
．
无穷数列{an}中，若an=
1
2n
，则
lim
n→∞
(a1+a2+a3+a4+…+a2n)=
1
1
．
已知无穷数列{an}中，a1，a2，a3，…，am是首项为10，公差为-2的等差数列，am+1，am+2，am+3，…，a2m是首项为
1
2
，公比为
1
2
的等比数列（其中m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有an+2m=an成立．
（Ⅰ）当m=12时，求a2014；
（Ⅱ）若a52=
1
128
，试求m的值；
（Ⅲ）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S128m+3≥2014成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．

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