Question

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，a₃，…，a_m是首项为10，公差为-2的等差数列，a_m+1，a_m+2，a_m+3，…，a_2m是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列（其中m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N^*，均有a_n+2m=a_n成立．
（Ⅰ）当m=12时，求a₂₀₁₄；
（Ⅱ）若a52=

1

128

，试求m的值；
（Ⅲ）判断是否存在m（m≥3，m∈N^*），使得S_128m+3≥2014成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当 m=12时，由a_n+2×12=a_n知数列的周期为24，于是a₂₀₁₄=a₂₂，依题意可求得a₂₂=

1

1024

；
（Ⅱ）设a_m+k是第一个周期中等比数列中的第k项，则a_m+k=(

1

2

)k，于是

1

128

=(

1

2

)7，即m≥7，则一个周期中至少有14项，a₅₂最多是第三个周期中的项．对a₅₂是第一个周期中的项、第二个周期中的项、第三个周期中的项，分别讨论计算即可求得m的值；
（Ⅲ）依题意，S_128m+3表示64个周期及等差数列的前3项之和，当S_2m最大时，S_128m+3最大．易求S_2m=-(m-

11

2

)2+

125

4

-

1

2m

，经讨论可求得当m=6时，S_2m取得最大值，从而可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m+3≥2014成立．

解答：解：（Ⅰ）当 m=12时，由a_n+2×12=a_n知数列的周期为24，
∵2014=24×83+22，而a₂₂是等比数列中的项，
∴a₂₀₁₄=a₂₂=

1

2

•(

1

2

)9=

1

1024

．
（Ⅱ）设a_m+k是第一个周期中等比数列中的第k项，则a_m+k=(

1

2

)k，
∵

1

128

=(

1

2

)7，
∴等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．
∴a₅₂最多是第三个周期中的项．
若a₅₂是第一个周期中的项，则a₅₂=a_m+7=

1

128

，
∴m=52-7=45；
若a₅₂是第二个周期中的项，则a₅₂=a_2m+m+7=a_3m+7=

1

128

，
∴3m=45，m=15；
若a₅₂是第三个周期中的项，则a₅₂=a_4m+m+7=a_5m+7=

1

128

，
∴5m=45，m=9．
综上，m=45或m=15或m=9．
（Ⅲ）∵2m是此数列的周期，
∴S_128m+3表示64个周期及等差数列的前3项之和．
∴S_2m最大时，S_128m+3最大．
因为S_2m=10m+

m(m-1)

2

×（-2）+

1 2 [1-( 1 2 )m]

1- 1 2

=-m²+11m+1-

1

2m

=-(m-

11

2

)2+

125

4

-

1

2m

，
当m=6时，S_2m=31-

1

64

=30

63

64

；
当m≤5时，S_2m＜30

63

64

；
当m≥7时，S_2m＜-(7-

11

2

)2+

125

4

=29＜30

63

64

；
当m=6时，S_2m取得最大值，则S_128m+3取得最大值为64×30

63

64

+24=2007．
由此可知，不存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m+3≥2014成立．…（14分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查数列的函数特性，考查其周期性、单调性与最值，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题．