题目内容
在△ABC中，若sin2A=sinB•sinC且（b+c+a）（b+c-a）=3bc，则该三角形的形状是
- A.直角三角形
- B.钝角三角形
- C.等腰三角形
- D.等边三角形
D
分析：根据条件应用正弦定理、余弦定理可得cosA=
=
，故A=60°，B+C=120°，cos（B-C）=1，从而得到
B=C=60°，故三角形是等边三角形．
解答：若sin2A=sinB•sinC，则a2=bc．
又 （b+c+a）（b+c-a）=3bc，∴b2+c2-a2=bc，
又 cosA==，
∴A=60°，B+C=120°．
再由sin2A=sinB•sinC，可得
=[cos（B-C）-cos（B+C）]=cos（B-C）+
，
∴cos（B-C ）=1． 又-π＜B-C＜π，∴B-C=0，∴B=C=60°，故该三角形的形状是等边三角形，
故选D．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，求得A=60°，及cos（B-C ）=1，是解题的关键．
分析：根据条件应用正弦定理、余弦定理可得cosA=
=，故A=60°，B+C=120°，cos（B-C）=1，从而得到B=C=60°，故三角形是等边三角形．
解答：若sin2A=sinB•sinC，则a2=bc．
又 （b+c+a）（b+c-a）=3bc，∴b2+c2-a2=bc，
又 cosA=
=，∴A=60°，B+C=120°．
再由sin2A=sinB•sinC，可得
=[cos（B-C）-cos（B+C）]=cos（B-C）+，∴cos（B-C ）=1． 又-π＜B-C＜π，∴B-C=0，∴B=C=60°，故该三角形的形状是等边三角形，
故选D．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，求得A=60°，及cos（B-C ）=1，是解题的关键．
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