Question

（本题满分14分）
如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC．

（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；
（Ⅱ）若，求二面角Q-PB-A的余弦值。

Answer 1

(1)通过已知中的平面⊥平面，那么结合平面，和⊥平面，从而得到线线平行∥，利用线面平行的性质来证明。
(2)

试题分析：解：（I）证明：过点作于点，

∵平面⊥平面  ∴平面
又∵⊥平面
∴∥ 又∵平面
∴∥平面……6分
（Ⅱ）∵平面
∴ 又∵
∴  ∴
∴点是的中点，连结，则
∴平面  ∴∥，
∴四边形是矩形  ……8分
设
∴，  ∴
过作于点，
∴，
取中点，连结，取的中点，连结
∵， ∴∥
∵  ∴   ∴
∴为二面角的平面角……12分
连结，则 又∵
∴
即二面角的余弦值为……14分
方法二:
（I）同方法一   ……………………………………6分
（Ⅱ）∵平面
∴，又∵
∴  ∴
∴点是的中点，连结，则
∴平面  ∴∥，
∴四边形是矩形  ……………………8分

分别以为轴建立空间直角坐标系
设，则，，，
设平面的法向量为
∵，
∴
又∵平面的法向量为 ……12分
设二面角为，则

又∵二面角是钝角
∴ ………………………………14分
点评：解决该试题的关键是利用线面平行的判定定理分析得到第一问，这是一般的解题思路，同时对于二面角的求解可以先作，后证明，再解，也可以建立直角坐标系，进而结合向量的知识来分析得到结论，属于中档题。