Question

【题目】已知函数.

(1)若函数有且只有一个零点，求实数的值；

(2)证明：当时， .

Answer 1

【答案】（1）1；（2）见解析．

【解析】试题分析：

(1)讨论函数的单调性可得满足题意时，解得.

(2)结合(1)的结论不妨设，结合函数的性质即可证得题中的不等式.

试题解析：

(1)方法1： ， ，

时， ； 时， ； 时， ；

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，∵有且只有一个零点，

故，∴.

方法2：由题意知方程仅有一实根，

由得 ()，

令， ，

时， ； 时， ； 时， ，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，

所以要使仅有一个零点，则.

方法3：函数有且只有一个零点即为直线与曲线相切，设切点为，

由得，∴，∴，

所以实数的值为1.

(2)由(1)知，即当且仅当时取等号，

∵，令得， ，

，

即.