Question

已知函数f（x）=x²+x+1，F（x）=

f(x)(x≥0) -f(x)(x＜0)

，若x∈R时，g（x）=F（x）-kx是增函数，则实数k的取值范围是（　　）

• A、-1≤k≤1
• B、k≥1
• C、k≤-2
• D、k＜-1

Answer 1

分析：本题考查的是函数单调性的性质和分段函数的综合类问题．在解答时，首先应该转化出函数F（x）的解析式，然后转化出函数g（x）的解析式，再结合：x∈R时，g（x）=F（x）-kx是增函数，利用数形结合的方法即可获得问题的解答．

解答：解：由题意可知：F(x)=

x2+x+1，x≥0 -x2-x-1，x＜0

，
∴g(x)=

x2+(1-k)x+1，x≥0 -x2-(k+1)x-1，x＜0

，
又因为任意的x∈R时，g（x）=F（x）-kx是增函数，
 所以对于x≥0时，有-

1-k

2

=

k-1

2

≤0，解得k≤1；
x＜0时，有-

-(k+1)

-2

=-

k+1

2

＞0，解得k＜-1；
又因为1＞-1，
所以k的取值范围是k＜-1．
故选D．

点评：本题考查的是函数单调性的性质和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分段函数的思想、分类讨论的思想以及函数单调性的思想．值得同学们体会和反思．