Question

19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，如图2，
（1）证明：平面A₁DC⊥平面A₁OC；
（2）若平面A₁BE⊥平面BCDE，求直线CB与平面A₁BE所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直以及面面垂直的判定定理证明即可；（2）先求出∠CBO为直线CB与平面A₁BE所成的角，解直角三角形即可．

解答 解：（1）在图1中，
因为AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=$\frac{π}{2}$，所以BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥OA₁，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A₁OC，
又CD∥BE，所以CD⊥平面A₁OC．
又CD?平面A₁DC，所以平面A₁DC⊥平面A₁OC…（6分）
（2）平面A₁BE⊥平面BCDE，平面A₁BE∩平面BCDE=BE，CO?平面BCDE，CO⊥BE，
∴CO⊥平面A₁BE，故∠CBO为直线CB与平面A₁BE所成的角…（9分）
在直角三角形COB中，易知CO=OB，∴∠CBO=45°…（11分）
故直线CB与平面A₁BE所成的角为45°…（12分）

点评 本题考查了线面垂直、面面垂直的判定定理，考查线面角问题，是一道中档题．