Question

已知（1+3x）ⁿ的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为

C

11 15

311x11和

C

12 15

312x12

．

Answer 1

分析：由题意可得，

C

n n

+

C

n-1 n

+

C

n-2 n

=121，解方程可求n，然后求出展开式的通项为T_r+1=

3rC

r 15

xr，结合

3r C r 15 ≥3r+1 C r+1 15 3r C r 15 ≥3r-1 C r-1 15

，可求r，进而可求

解答：解：由题意可得，

C

n n

+

C

n-1 n

+

C

n-2 n

=121
∴n+1+

1

2

n（n-1）=121
解可得，n=15
∴（1+3x）¹⁵的展开式的通项为T_r+1=

3rC

r 15

xr
令

3r C r 15 ≥3r+1 C r+1 15 3r C r 15 ≥3r-1 C r-1 15

，解可得，11≤r≤12
∵r∈N^*
∴r=11或12
r=11时，T₁₂=311

C

11 15

x11
r=12时，T₁₃

=312C

12 15

x12
展开式中系数最大的项为

C

11 15

311x11和

C

12 15

312x12
故答案为：

C

11 15

311x11和

C

12 15

312x12

点评：本题主要考查了二项展开式的系数最值的求解，解题的关键是熟练掌握二项展开式的性质