题目内容
已知a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1(x∈R),(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的最小值.
解：(1)当a=0时,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数;
当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a)，
此时f(x)不具有奇偶性.
(2)①当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-
)2+a+
.
若a≤
，则f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1;
若a＞
，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(
)=
+a且f(
)≤f(a).
②当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=(x+
)2-a+
.
若a≤-
,则f(x)在［a,+∞)上的最小值为f(-
)=
-a且f(-
)≤f(a);
若a＞-
,则函数f(x)在［a,+∞)上单调递增，从而函数f(x)在［a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.
综上,当a≤-
时，f(x)的最小值为
-a;
当-
＜a≤
时，f(x)的最小值为a2+1;
当a＞
时,f(x)的最小值为a+
.
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