题目内容

如图2-3-1,两圆为以O为圆心的同心圆,大圆的弦AB是小圆的切线,C为切点.求证:C是AB的中点.

图2-3-1

证明：连结OA、OC、OB,

∵OA=OB,

∴△OAB是等腰三角形.

又∵AC是小圆切线,C是切点,

∴OC⊥AB,即OC是等腰三角形底边上的高.

∴OC是AB边上的中线.

∴C是AB的中点.

练习册系列答案
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已知点P（
t22
，t）（|t|＞2），过P作圆A：（x-1）2+y2=1的两条切线分别切圆于E，F两点，交y轴于B．C两点如图：
（1）当P点坐标为（8，4）时，求直线EF的方程；
（2）用字母t表示切线段PE的长，用字母t表示线段BC的长．
（3）求△PBC面积的最小值．及对应P点坐标．
某同学用《几何画板》研究椭圆的性质：打开《几何画板》软件，绘制某椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1，在椭圆上任意画一个点S，度量点S的坐标（xs，ys），如图1．
（1）拖动点S，发现当xs=
2
时，ys=0；当xs=0时，ys=1，试求椭圆C1的方程；
（2）该同学知圆具有性质：若E为圆O：x2+y2=r2（r＞0）的弦AB的中点，则直线AB的斜率kAB与直线OE的斜率kOE的乘积kAB•kOE为定值．该同学在椭圆上构造两个不同的点A、B，并构造直线AB，再构造AB的中点E，经观察得：沿着椭圆C1，无论怎样拖动点A、B，椭圆也具有此性质．类比圆的这个性质，请写出椭圆C1的类似性质，并加以证明；
（3）拖动点A、B的过程中，如图2发现当点A与点B在C1在第一象限中的同一点时，直线AB刚好为C1的切线l，若l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值．
如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（　　）
①f（
1
4
）=1；②f（x）为奇函数；③f（x）在其定义域内单调递增；④f（x）的图象关于点（
1
2
，0）对称．
（2013•浦东新区二模）（1）设椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1与双曲线C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦点F1、F2，M是椭圆C1与双曲线C2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
（2）如图，已知“盾圆D”的方程为y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d1，M到直线l：x=3的距离为d2，求证：d1+d2为定值； 
（3）由抛物线弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）与第（1）小题椭圆弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范围．

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