Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0。
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同的两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线l的方程。

Answer 1

（Ⅰ）证明：圆C：的圆心为C（0，1），半径为，
∴圆心C到直线：mx-y+1-m=0的距离，
∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点。
（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，
∴，
设，则，
化简，得，
当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式，
故弦AB中点的轨迹方程是。
（Ⅲ）解：设，
由，得，
∴，化简得，                                            ①
又由，消去y，得， （*）
∴，                                                                              ②
由①②，解得，
代入（*）式，解得，
∴直线的方程为x-y=0或x+y-2=0。