Question

（2013•德州二模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为

1

2

，其中一个顶点是抛物线x²=-4

3

y的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足

PA

•

PB

=

5

4

，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明埋由．

Answer 1

分析：（I）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为

1

2

，其中一个顶点是抛物线x²=-4

3

y的焦点，求出几何量，即可得出椭圆的标准方程；
（II）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量知识，即可求得结论．

解答：解：（I）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则
∵椭圆C的离心率为

1

2

，其中一个顶点是抛物线x²=-4

3

y的焦点，
∴b=

3

，

c

a

=

1

2

∵c²=a²-b²
∴a=2，c=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）若存在过点P（2，1）的直线l满足条件，则l的斜率存在
设方程为y=k（x-2）+1，代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²-8k（2k-1）x+16k²-16k-8=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由△=32（6k+3）＞0，可得k＞-

1

2

且x₁+x₂=

8k(2k-1)

3+4k2

，x₁x₂=

16k2-16k-8

3+4k2

∵

PA

•

PB

=

5

4

∴(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=

5

4

∴[x₁x₂-4（x₁+x₂）+4]（1+k²）=

5

4

∴[

16k2-16k-8

3+4k2

-4•

8k(2k-1)

3+4k2

+4]（1+k²）=

5

4

∴

4k2+4

3+4k2

=

5

4

∵k＞-

1

2

，∴k=

1

2

∴存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足

PA

•

PB

=

5

4

，其方程为y=

1

2

x．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．