Question

已知函数f（x）=ax²+4x+b（a＜0，且a，b∈R）．设关于x的不等式f（x）＞0的解集为（x₁，x₂），且方程f（x）=x的两实根为α，β．
（Ⅰ）若|α-β|=1，试比较a，b的大小；
（Ⅱ）若α＜1＜β＜2，求证：(1-x1-x2-x1x2)e(1+x1)(1+x2)≤e．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件可得|α-β|=

(α+β)2-4αβ

=1，故

9

a2

-

4b

a

=1，化简得a-b=

( 5 a-3)( 5 a+3)

4a

，根据a与

-3

5

的大小关系判断a，b的大小．
（Ⅱ）令g（x）=ax²+3x+b，根据x₁，x₂是方程ax²+4x+b=0的两根，可得x1+x2=-

4

a

，x1x2=

b

a

．令t=x1x2+x1+x2=

b-4

a

，由线规划求出

b-4

a

的取值范围．再利用导数求出h（t）=（1-t）e^1+t 在（-4，6）上的最大值为e，即h（t）≤e，不等式得证．

解答：解：（Ⅰ）由方程f（x）=x，得ax²+3x+b=0，由已知得9-4ab＞0，α+β=-

3

a

，αβ=+

b

a

．
∴|α-β|=

(α+β)2-4αβ

=1，
∴（α+β）²-4αβ=1，
∴

9

a2

-

4b

a

=1，即a²+4ab=9．
∴b=

9-4a2

4a

，
∴a-b =  

5a2-9

4a

=

( 5 a-3)( 5 a+3)

4a

．
∴当-

3

5

＜a＜0时，a＞b；当 a=-

3

5

，a=b； a＜-

3

5

，a＜b．
（Ⅱ）令g（x）=ax²+3x+b，又a＜0，α＜1＜β＜2．
∴

g(1)＞0 g(2)＜0

，即

g(1)=a+b+3＞0 g(2)=4a+b+6＜0

．
又x₁，x₂是方程ax²+4x+b=0的两根，∴x1+x2=-

4

a

，x1x2=

b

a

．
令t=x1x2+x1+x2=

b-4

a

，由线性约束条件

a+b+3＞0 4a+b+6＜0 a＜0.

，可知

b-4

a

的取值范围为（-4，6）．
令h（t）=（1-t）e^1+t，则h′（t）=-t•e^1+t，
∴h（t）在（-4，0）上递增，在（0，6）上递减，故函数h（t）在（-4，6）上的最大值为e，
故h（t）≤e，即 (1-x1)(1-x2)e(1+x1)(1+x2)≤e成立．

点评：本题主要考查根与系数的关系以及简单的线性规划，函数的恒成立问题，属于中档题．