Question

（2013•德州二模）已知函数f（x）=

ex+x-1(x＜0) - 1 3 x3+2x(x≥0)

，给出如下四个命题：
①f（x）在[

2

，+∞）上是减函数；
②f（x）的最大值是2；
③函数y=f（x）有两个零点；
④f（x）≤

4 2

3

在R上恒成立；
其中正确的命题有

①③④

．（把正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析：利用导数分别分段函数每一段上的单调性，从而求出函数的最值，以及函数的零点，即可得到正确选项．

解答：解：当x＜0时，f'（x）=e^x+1＞0故函数在（-∞，0）上单调递增；
当x＞0时，f'（x）=2-x²，故函数在（0，

2

）上单调递增，在[

2

，+∞）上是减函数；
∴当x=

2

时函数f（x）的最大值是f（

2

）=

4 2

3

则f（x）≤

4 2

3

在R上恒成立；
函数y=f（x）有两个零点分别为0，

6

故答案为：①③④

点评：本题主要考查了分段函数的单调性和最值以及零点问题，同时考查了恒成立，属于中档题．