题目内容

四枚不同的金属纪念币A、B、C、D，投掷时，A、B两枚正面向上的概率为分别为 $数学公式$ ，另两枚C、D正面向上的概率分别为a（0＜a＜1）．这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数．
（1）若A、B出现一正一反与C、D出现两正的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列及数学期望（用a表示）；
（3）若有2枚纪念币出现正面向上的概率最大，求a的取值范围．

解：（1）设从M中任取一个元素是（3，5）的事件为B，则P（B）= $\text{[math]}$ ，
所以从M中任取一个元素是（3，5）的概率为 $\text{[math]}$ ，
（2）设从M中任取一个元素，x+y≥10的事件为C，有
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）
则P（C）= $\text{[math]}$ ，所以从M中任取一个元素x+y≥10的概率为 $\text{[math]}$ ．
（3）ξ可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
P（ξ=2）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=3）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=4）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=5）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=6）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=7）= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=8）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=9）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=10）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=11）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=12）= $\text{[math]}$ ，
∴ξ的分布列为

ξ	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴Eξ= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
=7．
分析：（1）设从M中任取一个元素是（3，5）的事件为B，则P（B）= $\text{[math]}$ ，由此能求出从M中任取一个元素是（3，5）的概率．
（2）设从M中任取一个元素，x+y≥10的事件为C，有（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），由此能求出从M中任取一个元素x+y≥10的概率．
（3）ξ可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，P（ξ=2）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=3）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=4）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=5）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=6）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=7）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=8）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=9）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=10）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=11）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=12）= $\text{[math]}$ ，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答．注意理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想．