Question

定义在上的奇函数，当时，
（1）求在上的解析式；
（2）判断在上的单调性，并给予证明；
（3）当时，关于的方程有解，试求实数的取值范围.

Answer 1

（1）（2）在上为减函数，证明见解析（3）

解析试题分析：（1）∵在上是奇函数，∴，                                 ……1分
设，则，，                                  ……3分
.                                                          ……4分
（2）设，则
,           ……6分
∵，∴,
又， ,
所以在上为减函数.                                                        ……8分
（3）当时，，则方程化为      ……10分
∵，
而                           ……11分
因此要使方程有解，只须                               ……12分
考点：本小题主要考查利用函数的奇偶性求分段函数的表达式、利用定义证明函数的单调性和复合函数的值域问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和转化问题的能力以及运算求解能力.
点评：奇函数如果在原点处有定义，则一定有；用定义域证明函数的单调性性时，一定要把结果化到最简，而第三问将问题转化为复合函数的值域问题是解决第三问的关键.