题目内容

已知当x∈[0，1]时，不等式x2cosθ-x（1-x）+（1-x）2sinθ＞0恒成立，其中0≤θ≤2π，求θ的取值范围．
分析：可设不等式左边为f（x）并化简，求出f（x）的最小值，令其大于0，得到θ的取值范围即可．
解答：解：设f（x）=x2•cosθ-x•（1-x）+（1-x）2•sinθ=（1+sinθ+cosθ）x2-（2sinθ+1）x+sinθ
①若1+cosθ+sinθ=0，
即θ=π或
3
2
π时，原不等式不恒成立．
②若1+cosθ+sinθ≠0，即θ≠π或
3
2
π时，∵f（x）在[0，1]的最小值为f（0）或f（1）或f[
2sinθ+1
2(1+cosθ+sinθ)
]
∴
f(0)＞0
f(1)＞0
f[
2sinθ1
2(1+cosθ+sinθ)
]＞0
由第1个不等式得sinθ＞0，由第2个不等式得cosθ＞0，由第3个不等式得sinθ＞
1
2

又∵0≤θ≤2π，
∴
π
12
＜θ＜
π
2
．
点评：考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及灵活运用三角函数的能力．
练习册系列答案
相关题目
设函数y=f（x）满足对一切的x∈R，f（x）≥0，且f(x+1)=
9-f2(x)
，已知当x∈[0，1）时，f(x)=
2x，0≤x≤
1
2
lg(x+31)
1
2
＜x＜1
，则f(
100
)=
 
．
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），已知当x∈[0，1]时，f（x）=3x．则
①2是f（x）的周期；
②函数f（x）在（2，3）上是增函数；
③函数f（x）的最大值为1，最小值为0；
④直线x=2是函数f（x）图象的一条对称轴．
其中所有正确命题的序号是
①②④
①②④
．
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时，f(x)=(
1
2
)1-x，则其中所有正确命题的序号是
①②④
①②④
．
①2是函数f（x）的周期； ②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；
③函数f（x）的最大值是1，最小值是0； ④当x∈[3，4]时，f(x)=(
1
2
)x-3．
定义在[-1，1]上的偶函数f（x），已知当x∈[0，1]时的解析式为f（x）=-22x+a2x （a∈R）．
（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值h（a）．
设函数f（x） 是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），已知当x∈[0，1]时，f（x）=3x．则
①2是f（x）的周期；　　　　　　　　
②函数f（x）的最大值为1，最小值为0；
③函数f（x）在（2，3）上是增函数；    
④直线x=2是函数f（x）图象的一条对称轴．
其中所有正确命题的序号是
①③④
①③④
．

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